ШАД · Вступительное fast-track · Задача 1

Условное математическое ожидание

Условие

Пусть ξ∼U[0;1]\xi \sim U[0; 1] и η∼Bin⁡(2026,1/2)\eta \sim \operatorname{Bin}(2026, 1/2) независимы. Вычислите

E(1E(ξη∣η)2).\mathbb E\left(\frac{1}{\mathbb E(\xi^\eta\mid\eta)^2}\right).

Решение

Имеем равномерно распределённую случайную величину и случайную величину с биномиальным распределением.

Найти нужно математическое ожидание от выражения, в котором фигурирует условное математическое ожидание. Но условное математическое ожидание E(ξη∣η)\mathbb E(\xi^\eta\mid\eta) — это уже функция, а не число, поскольку есть зависимость от η\eta.

Так как ξ\xi и η\eta независимы, при фиксированном η=k\eta = k:

E(ξη∣η=k)=E(ξk).\mathbb E(\xi^\eta \mid \eta = k) = \mathbb E(\xi^k).

Для равномерно распределённой случайной величины ξ\xi:

E(ξk)=∫01xk dx=1k+1.\mathbb E(\xi^k) = \int_0^1 x^k\,dx = \frac{1}{k+1}.

Поэтому

E(ξη∣η)=1η+1.\boxed{\mathbb E(\xi^\eta \mid \eta)=\frac{1}{\eta+1}}.

Подставим найденное в исходное выражение:

E(1E(ξη∣η)2)=E(1(1η+1)2)=E((η+1)2).\begin{aligned}\mathbb E\left(\frac{1}{\mathbb E(\xi^\eta\mid\eta)^2}\right)&=\mathbb E\left(\frac{1}{\left(\frac{1}{\eta+1}\right)^2}\right)\\[6pt]&=\mathbb E\left((\eta+1)^2\right).\end{aligned}

Для η∼Bin⁡(2026,12)\eta\sim\operatorname{Bin}(2026,\tfrac12) имеем

Eη=2026⋅12=1013,\mathbb E\eta=2026\cdot\frac12=1013,
Var⁡(η)=2026⋅12⋅12=506.5.\operatorname{Var}(\eta)=2026\cdot\frac12\cdot\frac12=506.5.

Используем формулу

E[X2]=Var⁡(X)+(EX)2.\mathbb E[X^2]=\operatorname{Var}(X)+(\mathbb EX)^2.

Для X=η+1X=\eta+1:

E(η+1)=1014,Var⁡(η+1)=506.5.\mathbb E(\eta+1)=1014,\qquad \operatorname{Var}(\eta+1)=506.5.

Поэтому

E[(η+1)2]=506.5+10142=1 028 702.5.\mathbb E[(\eta+1)^2]=506.5+1014^2=1\,028\,702.5.

Ответ: 1 028 702,5.